関数の展開

e^x=a(0)+a(1)x+a(2)x²+...
と置く。

微分して、
(e^x)'=e^x=a(1)+2a(2)x+3a(3)x²+...

比較すると、 a(0)=a(1),a(1)=2a(2),a(2)=3a(3),...
ということがわかる。

e⁰=1　より、a(0)=1
よって、
a(1)=1,a(2)=1/2,a(3)=1/(3*2),...

e^x=1+x/1!+x²/2!+x³/3!+...+xⁿ/n!+...

sinX=a(0)+a(1)X+a(2)X²+...
と置く。

(sinX)'=cosX=a(1)+2a(2)X+3a(3)X²+...

(sinX)''=-sinX=2a(2)+3*2a(3)X+4*3a(4)X²+...

a(0)=0,a(1)=1,2a(2)=-a(0),3*2a(3)=-a(1),4*3a(4)=-a(2),5*4a(5)=-a(3),...

a(2)=0,a(3)=-1/3!,a(4)=0,a(5)=1/5!,...

sinX=X/1!-X³/3!+X⁵/5!+...

同様に、
cosX=1-X²/2!+X⁴/4!+...

(1+x)^mを展開したい。

{(1+x)^m}'=m(1+x)^m-1
{(1+x)^m}'*(1+x)/m=(1+x)^m
(1+x)^m=a(0)+a(1)x+a(2)x²+...
{(1+x)^m}'=a(1)+2a(2)x+3a(3)x²+...
{(1+x)^m}'(1+x)=a(1)+{a(1)+2a(2)}x+{2a(2)+3a(3)}x²+...
a(0)=a(1)/m
a(1)={a(1)+2a(2)}/m
a(2)={2a(2)+3a(3)}/m
(1+0)^m=1,よってa(0)=1
a(1)=m
m²=m+2a(2)
a(2)=m(m-1)/2
m(m-1)/2={m(m-1)+3a(3)}/m
m²(m-1)=2m(m-1)+3*2a(3)
m(m-1)(m-2)/(3*2)=a(3)
a(n)=m(m-1)(m-2)*...*(m-n+1)/n!
(1+x)^m=1+mx+m(m-1)x²/2!+...+a(n)xⁿ...
となる。

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