、
を考える。これらはそれぞれ直交座標
を持ち、原点にそれぞれ観測者がいる。
系は系の
軸方向に一定の速度
（相対速度）で運動しており、時刻
で系と系とは一致する。すなわち軸と
軸、
軸と
軸、
軸と
軸とは一致する。これはまた、一致した時点で２人の時計をに合わせると考えてもよい。系は系に対して
で遠ざかる。系で時刻
、位置、、で起こった事象（現象）は、系では、時刻
、位置、、に起こる。その関係は、ローレンツ変換のローレンツ変換はローレンツ変換である
相対性理論における、すべての結論は次のローレンツ変換にはじまる。２つの慣性系、を考える。これらはそれぞれ直交座標
を持ち、原点にそれぞれ観測者がいる。系は系の軸方向に一定の速度（相対速度）で運動しており、時刻で系と系とは一致する。すなわち
軸と軸、軸と軸、軸と軸とは一致する。これはまた、一致した時点で２人の時計をに合わせると考えてもよい。
系は系に対してで遠ざかる。
系で時刻、位置、、で起こった事象（現象）は、系では、時刻、位置、、に起こる。その関係は、
（１）
（２）
（３）
（４）
である。（１）～（４）をローレンツ変換という。
は光速度。
ではルートの中が負になるのでこの世の最高速度はであることがわかる。
系と系での速度の変換式を求めてみよう。微分法により、
ゆえに、
（５）
（６）
同様に
（７）
ローレンツ変換によって、系で光速で進む物は系でも光速で進むことは各自計算して欲しい。
これで準備はできた。今度は系に加えて系に対して
で同じく軸方向に進む
系も考えてみよう。
系から系は
で進むようにみえる。
（５）より
（８）
で運動している。従って（１）より
（８）を代入して整理すると
（９）
（１０）
（１０）を（９）に代入して整理すると次式を得る。
（１１）
同様に、
（１２）
と計算できる。
（１３）
（１４）
（11）、（１２）、（１３）、（１４）より分かるように、ローレンツ変換のローレンツ変換はローレンツ変換になった。
これはローレンツ変換に矛盾がないことを示している。
２０１０年８月１８日