平方根の値を漸化式で求めてみよう。 Pの平方根は次の漸化式で求まる。
x1=1
xn+1=1+(P-1)/(1+xn)
P=3の場合を考えてみよう。コンピュータで計算すると、
x2=2.0
x3=1.666666666666667
x4=1.75
x5=1.727272727272727
x29=1.732050807568877
と求まる。
平方根が求まる理由を考えてみよう。この漸化式は収束すると考えれば、
a=1+(P-1)/(1+a)
が成り立つ。すなわち、
a(1+a)=1+a+P-1
a2+a=a+P
a2=P
a=±√P
aは正だから
a=√P
となる。